При переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой с некоторой скоростью, преобразуются не только координаты, но и время, скорость, частота, импульс, энергия, волновой вектор, плотность тока и многие другие величины, включая электрическое и магнитное поля. Для количественного описания этих преобразований удобно какие-то из этих величин рассматривать как компоненты 4-векторов, а какие-то - как элементы 4-тензоров в псевдоевклидовом пространстве. И 4-векторы, и 4-тензоры могут записываться в ко- и контравариантном представлении.

4-вектор события в контравариантом представлении (здесь и всюду ниже величины с верхними индексами - это контравариантые компоненты, а не степени числа): $$ x^{i}= \left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right) $$ 4-вектор потенциала в контравариантом представлении: $$ A^{i}= \left( \begin{array}{c} \varphi \\ A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right), $$ где $A_x$, $A_y$, $A_z$ - компоненты обычного 3-мерного вектор-потенциала, а $\phi(\vec{r},t)$ - скалярная функция, градиент которой удовлетворяет соотношению $-\nabla\phi=\vec{E}+\frac{1}{c}\frac{d\vec{A}}{dt}$.

Метрический тензор в ко- и контравариантном представлении: $$ g_{ik}=g^{ik}= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) $$ Переход между ковариантым и контравариантным представлением векторов осуществляется с помощью соотношений (здесь и ниже суммирование производится по повторяющимся индексам, стоящим на разных уровнях) $$ V_i=g_{ik}V^k, V^i=g^{ik}V_k $$ Например, вектор события в ковариантом представлении $$ x_i=g_{ik}x^k=(ct,-x,-y,-z). $$ Формула релятивистских преобразований 4-векторов: $$ V'^i=\Lambda_k^i V^k $$ где $\Lambda_k^i$ – матрица преобразования Лоренца, $i$=0,...,3, $k$=0,...,3.

Матрица преобразования Лоренца (для случая, когда сопутствующая система отсчета движется относительно лабораторной со скоростью $\vec{\beta}=\frac{v}{c} \vec{e}_x$): $$ \Lambda_m^i= \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ Матрица обратного преобразования Лоренца (для случая $\vec{\beta}=\frac{v}{c} \vec{e}_x$): $$ \left(\Lambda_m^i\right)^{-1}= \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ По форме $\Lambda$ представляет собой матрицу поворота, поэтому преобразования Лоренца не изменяют скалярного произведения 4-векторов, которое определяется как $$ (V\cdot U)=V_iU^i. $$ Примером релятивистского инварианта является интервал $s$, квадрат которого равен скалярному произведению 4-вектора события на самого себя: $$ s^2=x_ix^i=(ct)^2-x^2-y^2-z^2. $$ Интервал между двумя событиями ($x_1^{(4)}$ и $x_2^{(4)}$) равен $$ s^2=(c\Delta t)^2-\Delta^2 x-\Delta^2 y-\Delta^2 z = c^2 (t_2-t_1) - (x_2-x_1)^2 - (y_2-y_1)^2 - (z_2-z_1)^2. $$ Применив преобразование Лоренца к 4-мерному волновому вектору $k^{(4)}$, получим количественное описание эффекта Доплера и аберрации света: $$ \left( \begin{array}{c} \frac{\omega'}{c} \\ k'_x \\ k'_y \\ k'_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \frac{\omega}{c} \\ k_x \\ k_y \\ k_z \end{array} \right). $$ Действительно, имеем: $$ \begin{array}{l} \frac{\omega'}{c}=\gamma \frac{\omega}{c} - \beta \gamma k_x = \gamma \frac{\omega}{c} - \beta \gamma k \cos\theta = \gamma \frac{\omega}{c} - \beta \gamma \frac{\omega}{c} \cos\theta = \frac{\omega}{c} \gamma (1 - \beta\cos\theta) \Rightarrow \omega' = \omega \gamma (1 - \beta \cos\theta).\\\\ \frac{k'_y}{k'_x}=\tg\theta'=\frac{k_y}{-\beta\gamma \frac{\omega}{c}+\gamma k_x}= \frac{\frac{\omega}{c}\sin\theta}{-\beta\gamma \frac{\omega}{c}+\gamma \frac{\omega}{c}\cos\theta}= \frac{\sin\theta}{\gamma (\cos\theta -\beta) }. \end{array} $$ В случае $\theta=\theta'=0$ (продольный Доплер-эффект): $$ \cos\theta = 1 \Rightarrow \omega' = \omega \gamma (1 - \beta)=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\omega. $$ При $\beta>0$ приемник удаляется от излучателя, излучение догоняет приемник и наблюдаемая частота уменьшается: $\omega'< \omega$.

В случае $\theta'=\frac{\pi}{2}$ (поперечный Доплер-эффект): $$ k'_x=\gamma(-\beta \frac{\omega}{c} + k_x)=0 \Rightarrow \cos\theta = \beta \Rightarrow \omega' = \omega \gamma (1 - \beta^2) = \omega \sqrt{1 - \beta^2}. $$ Независимо от направления (знака) $\beta$, при поперечном Доплер-эффекте приемник всегда удаляется от излучателя. Действительно, если $\beta>0$, то $0<\theta<\pi/2$, в системе излучателя приемник находится справа и сверху, то есть удаляется от него. Если же $\beta<0$, то $\pi/2<\theta<\pi$, в системе излучателя приемник находится слева и сверху от него, то есть также удаляется. При этом наблюдаемая в системе приемника частота уменьшается ($\omega'< \omega$).

Тензор электромагнитного поля в контравариантном представлении: $$ F^{ik}=\frac{\partial A^k}{\partial x_i} - \frac{\partial A^i}{\partial x_k}= \left( \begin{array}{cccc} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -H_z & H_y \\ E_y & H_z & 0 & -H_x \\ E_z & -H_y & H_x & 0 \end{array} \right), $$ где $i$=0,...,3, $k$=0,...,3.

Контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля при переходе из лабораторной в сопутствующую систему координат преобразуются по правилу $$ \left(F^{ik}\right)'=\Lambda_m^i \Lambda_n^k F^{mn} $$ Для практических расчетов удобно представить $m,n$-компоненты тензора $F$ в виде произведения $m$ и $n$ компонент некоторых двух 4-векторов (нахождение самих 4-векторов при этом в нашу задачу не входит): $$ F^{mn}=a^{m}\cdot b^{n}. $$ Тогда $$ \left(F^{ik}\right)'=(\Lambda_m^i a^{m})\cdot (\Lambda_n^k b^{n}). $$ Правая часть в развернутом виде представляет собой линейную комбинацию произведений вида $a^{\alpha}\cdot b^{\beta}$, которые с другой стороны суть $\alpha, \beta$-компоненты тензора $F$. Коэффициенты при этих компонентах формируются из парных произведений элементов матрицы $\Lambda$ и задаются однозначно. Таким образом, произвольная $ik$-компонента тензора $F'$ выражается через компоненты тензора $F$. Например, $$ \left. \begin{array}{l} H_{y}'=\left(F^{13}\right)'=(\Lambda_m^1 a^{m})\cdot (\Lambda_n^3 b^{n})\\ (a^{1})'=\Lambda_m^1 a^{m}=-\beta\gamma a^{0} + \gamma a^{1}\\ (b^{3})'=\Lambda_n^3 b^{n}= 1\cdot b^{3}\\ \end{array} \right\} \Rightarrow\\ \Rightarrow H_{y}' = (-\beta\gamma a^{0} + \gamma a^{1})b^{3}= -\beta\gamma a^{0}b^{3} + \gamma a^{1}b^{3}= $$ $$ =-\beta\gamma F^{03} + \gamma F^{13}=\gamma(H_y+\beta E_z). $$ Формулы преобразования полей можно записать и в векторном виде: $$ \begin{array}{lll} \vec{E}'_{\parallel}=\vec{E}_{\parallel},& \vec{E}'_{\perp}=\gamma\left(\vec{E}_{\perp}+\left[\vec{\beta} \times \vec{H}\right]\right),&\vec{E}_{\perp}=\gamma\left(\vec{E}'_{\perp}-\left[\vec{\beta} \times \vec{H}'\right]\right)\\ \vec{H}'_{\parallel}=\vec{H}_{\parallel},& \vec{H}'_{\perp}=\gamma\left(\vec{H}_{\perp}-\left[\vec{\beta} \times \vec{E}\right]\right),& \vec{H}_{\perp}=\gamma\left(\vec{H}'_{\perp}+\left[\vec{\beta} \times \vec{E}'\right]\right) \end{array} $$