Волновое уравнение

Электромагнитная волна в однородной непроводящей среде без объемных зарядов удовлетворяет уравнениям, полученным из уравнений Максвелла: \begin{equation}\label{kinem_eq1} \begin{array}{l} \Delta \vec{E}(\vec{r}, t) - \frac{\varepsilon \mu }{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\vec{E}(\vec{r},t)=0,\\\\ \Delta \vec{H}(\vec{r}, t) - \frac{\varepsilon \mu }{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\vec{H}(\vec{r},t)=0. \end{array} \end{equation} Частным решением волнового уравнения является плоская волна, которая при соответствующем выборе направления оси $z$ выражается формулой \begin{equation}\label{kinem_eq2} \vec{E}=\vec{f}_1(z-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\cdot t)+\vec{f}_2(z+\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\cdot t). \end{equation} Для плоской волны \begin{equation}\label{kinem_eq3} \vec{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{e}_z\times \vec{E}],\; \vec{E}=-\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}[\vec{n}\times \vec{H}], \end{equation} где $\vec{n}=\vec{e}_z$ – единичный вектор в направлении распространения волны. Таким образом, плоская волна поперечна.

Плоская монохроматическая волна

\begin{equation}\label{kinem_eq4} \vec{E}=\vec{E}_0\exp \left[i(\omega t - (\vec{k}\cdot\vec{r})+\phi)\right], \end{equation} где $\vec{k}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}\vec{e}_z$ – волновой вектор. Модуль волнового вектора $|\vec{k}| = k$ связан с другими параметрами волны соотношениями \begin{equation}\label{kinem_eq5} k=\frac{n \omega}{c}=\sqrt{\varepsilon\mu}\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{P}{\hbar} \end{equation} где $n=\sqrt{\varepsilon \mu}$ – показатель преломления среды, $\lambda$ – длина волны, $P$ – импульс, $\hbar= h/2\pi$ – постоянная Планка. Для плоской монохроматической волны соотношения \eqref{kinem_eq3} принимают вид: \begin{equation}\label{kinem_eq6} \vec{H}=\frac{c}{\omega\mu}[\vec{k}\times \vec{E}],\; \vec{E}=-\frac{c}{\omega\varepsilon}[\vec{k}\times \vec{H}]. \end{equation}

Скорость распространения волны

Фазовая скорость распространения волны $\vec{v}_{ф}=\frac{\vec{c}}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$. Фазовая скорость относится к перемещению геометрического места точек, в которых волна характеризуется неизменной фазой, и не совпадает в общем случае ни по величине, ни по направлению со скоростью движения материальных объектов. Поэтому $v_{ф}$ может превышать скорость света в вакууме (ничто не запрещает существование среды, для которой одновременно $\varepsilon=1$ и $\mu < 1$).

Энергия волны

Вектор Пойнтинга в волне \begin{equation}\label{kinem_eq7} \vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times \vec{H}]. \end{equation}

Физический смысл $i-$й компоненты вектора Пойнтинга – энергия излучения, падающая в единицу времени на единичную площадку с нормалью, направленной вдоль оси $x_i$.

В случае плоской волны абсолютная величина вектора Пойнтинга равна $$ \begin{array}{l} S=\frac{c}{4\pi}E\cdot H = \frac{c}{8\pi}\left( E\cdot \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E + H\cdot \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}H \right)=\\\\ =\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\left( \frac{ED}{8\pi} + \frac{HB}{8\pi} \right) =v_ф\left( \frac{ED}{8\pi} + \frac{HB}{8\pi} \right). \end{array} $$ Плотность энергии в волне $w=\frac{dW}{dV}=\frac{ED}{8\pi} + \frac{HB}{8\pi}$. Таким образом, формально плоскую монохроматическую волну можно описывать как распределение плотности энергии неизменной формы, движущееся со скоростью $\vec{v}_{\text{ф}}$. При этом следует понимать, что до тех пор, пока волна остается идеальной плоской монохроматической, никакой прибор не сможет обнаружить отличие ее от неподвижного в пространстве распределения плотности энергии, переменной во времени. Другими словами, плоская монохроматическая волна не несет информации от некоторого источника, поэтому бессмысленно применять к ней понятие скорости распространения сигнала.

Средний по времени вектор Пойтинга равен $$ <\vec{S}>=\frac{c}{8\pi}\text{Re}\{[\vec{E}\times \vec{H}^*]\}. $$

Сферическая волна

\begin{equation}\label{kinem_eq8} \vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{r}\exp i\left[-(\vec{k}\cdot\vec{r})+\omega t+\phi\right]. \end{equation}

Поляризация

Пусть плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси z, которая направлена на нас. Зафиксируем плоскость z=$\text{const}$ и рассмотрим в этой плоскости вектор $\vec{E}(t)$ как функцию времени. Нетрудно показать, что в общем случае конец вектора $\vec{E}(t)$ с течением времени описывает эллипс, который в частных случаях может представлять собой окружность, либо отрезок. Перечисленным случаям соответствует эллиптическая, круговая и линейная поляризация волны. В двух первых случаях вектор поворачивается со временем либо по ходу часовой стрелки (правая поляризация), либо против хода часовой стрелки (левая поляризация).
Поляризацию волны удобно характеризовать двумерным вектором $\vec{E}_0(t)= E_x {\e}^{i\omega t}\cdot \vec{e}_x + E_y {\e}^{i(\omega t+\phi)}\cdot \vec{e}_y = E_0(t) \left(a; b{\e}^{i\phi} \right),$ где $a$ и $b$ – действительные числа.

Линейная поляризация: $\phi=m\pi$, где $m$ – целое (частный случай $a=0$ или $b=0$).

Круговая поляризация: $a=b,\; \phi=\pm\pi/2$.

Общий случай – эллиптическая поляризация (левая при $\phi<0$, правая при $\phi>0$). Обратим внимание на то, что ту же волну можно было бы описывать выражениями $$ \begin{array}{l} E_x(\vec{r},t)=E_{0x}\exp i\left[(\vec{k}\cdot\vec{r})-\omega t\right],\\ E_y(\vec{r},t)=E_{0y}\exp i\left[(\vec{k}\cdot\vec{r})-\omega t + \phi\right]. \end{array} $$ Тогда случай $\phi>0$ соответствует отставанию, а не опережению по фазе, и при прежних прочих условиях отвечает левой, а не правой поляризации.

При падении плоской монохроматической волны из среды с показателем $n_1$ в среду с показателем $n_2$ с углом падения $\theta_0$, отражения $\theta_1$ и преломления $\theta_2$ выполняются законы отражения $\theta_0=\theta_1$ и преломления (закон Снеллиуса): \begin{equation}\label{kinem_eq9} \frac{\sin \theta_2}{\sin \theta_0}=\frac{n_1}{n_2} \end{equation}

Формулы Френеля

Представим вектор $E_0$ как сумму двух векторов $\vec{E}_0 = \vec{E}_0^{\perp} + \vec{E}_0^{\parallel}$, где $\vec{E}_0^{\parallel}$ – вектор электрического поля падающей волны, лежащий в плоскости падения (TM-волна), а $\vec{E}_0^{\perp}$ – вектор электрического поля падающей волны, перпендикулярный плоскости падения (TE-волна). Тогда для отраженной волны получается \begin{equation}\label{kinem_eq10} \frac{\vec{E}_1^{\parallel}}{\vec{E}_0^{\parallel}}=\frac{\tg (\theta_0 -\theta_2)}{\tg (\theta_0 +\theta_2)},\; \frac{\vec{E}_1^{\perp}}{\vec{E}_0^{\perp}}=-\frac{\sin (\theta_0 -\theta_2)}{\sin (\theta_0 +\theta_2)}. \end{equation} В формуле \eqref{kinem_eq10} исходно предполагается, что $\vec{E}_1^{\perp}\upuparrows\vec{E}_0^{\perp}$ и $\vec{H}_1^{\parallel}\upuparrows\vec{H}_0^{\parallel}$ (при этом $\vec{E}_1=-\frac{c}{\omega}[\vec{k}_1\times \vec{H}_1]$). Если отношение амплитуд падающей и отраженной волн отрицательно, направление поля в отраженной волне противоположно исходно предполагавшемуся.
Для преломленной волны \begin{equation}\label{kinem_eq11} \frac{\vec{E}_2^{\parallel}}{\vec{E}_0^{\parallel}}= \frac{2\cos \theta_0 \sin \theta_2}{\sin (\theta_0 +\theta_2)\cos (\theta_0 -\theta_2)},\; \frac{\vec{E}_2^{\perp}}{\vec{E}_0^{\perp}}= \frac{2\cos \theta_0 \sin \theta_2}{\sin (\theta_0 +\theta_2)}. \end{equation} Всегда $\vec{E}_2^{\perp}\upuparrows\vec{E}_0^{\perp}$ и $\vec{H}_2^{\parallel}\upuparrows\vec{H}_0^{\parallel}$.