В геометрической оптике состояние луча в произвольной точке пространства можно задавать в виде вектор-стобца: $$ \left( \begin{array}{c} x\\ n\alpha \end{array} \right), $$ где $-\pi/2\le\alpha\le\pi/2$ - угол наклона луча (или его продолжения) по отношению к горизонтальной оси, направленной вправо;
$n$ - показатель преломления среды в данной точке;
$x$ - вертикальное положение точки, отсчитываемое вверх по отношению к оптической оси.
Предполагается, что угол наклона луча по модулю много меньше 1-го рад (параксиальное приближение).

В рамках матричного формализма состояние луча может изменяться вследствие распространения луча в однородной среде, преломления на границе раздела двух сред, отражения, а также комбинации этих процессов.
Преобразование луча при его распространении в однородной среде с показателем преломления $n$ описывается матрицей пустого промежутка: $$ \left( \begin{array}{c} x_2\\ n\alpha_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{d}{n}\\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ n\alpha_1 \end{array} \right), $$ где $d$ - длина промежутка вдоль горизонтали, отсчитываемая слева направо. Если луч распространяется в левую сторону, то $d<0$.

Преобразование луча при преломлении на границе раздела двух сред описывается матрицей преломления: $$ \left( \begin{array}{c} x_2\\ n_2\alpha_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{n_2-n_1}{R} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ n_1\alpha_1 \end{array} \right), $$ где $n_1$, $n_2$ - показатели преломления среды до и после преломления соответственно, $R$ - радиус кривизны границы раздела. Действует следующее правило знаков: $R>0$, если луч падает слева на выпуклую поверхность, $R<0$ - если на вогнутую. В случае падения луча справа действует обратное правило знаков.

Преобразование луча при отражении описывается матрицей отражения: $$ \left( \begin{array}{c} x_2\\ n\alpha_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{2n}{R} & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ n\alpha_1 \end{array} \right), $$ где $n$ - показатель преломления среды, $R$ - радиус кривизны зеркальной поверхности. Действует то же правило знаков: $R>0$, если луч падает слева на выпуклую поверхность, $R<0$ - если на вогнутую. В случае падения луча справа действует обратное правило знаков. Для луча (падающего или отраженного), направленного в левую сторону, соответствующий угол характеризует его продолжение.

Матрица толстой линзы: $$ M= \left( \begin{array}{сс} 1 - \frac{n_L-n}{n_L}\cdot\frac{d}{R_1} & \frac{d}{n_L}\\ -\frac{n_L-n}{R_1R_2}\left(R_2-R_1 + \frac{n_L-n}{n_L} d \right) & \frac{n_L-n}{n_L}\cdot\frac{d}{R_2}+1 \end{array} \right), $$ где $R_1$, $R_2$ - радиусы кривизны передней и задней поверхностей линзы соответственно (для двояко-выпуклой линзы $R_1>0$, $R_2<0$);
$n_L$, $n$ - показатели преломления линзы и среды соответственно;
$d$ - толщина линзы.

Рассмотрим произвольную оптическую систему (ОС), заданную матрицей $$ M= \left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12}\\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right), $$ Пусть теперь $n_1,\, n_2$ – показатели преломления среды слева и справа от ОС соответственно. Тогда расстояние $z_1$ слева от левого края ОС до левой главной плоскости задается формулой: $$ \frac{z_1}{n_1}=\frac{1-m_{22}}{m_{21}}. $$ Формула для расстояния $z_2$ справа от правого края ОС до правой главной плоскости: $$ \frac{z_2}{n_2}=\frac{1-m_{11}}{m_{21}}. $$ Если предмет расположен на расстоянии $d_1$ слева от левой границы ОС, а его изображение - на расстоянии $d_2$ справа от правой границы ОС, то положения предмета и изображения связаны формулой: $$ \begin{array}{l} \frac{d_2}{n_2}=-\frac{m_{11}\frac{d_1}{n_1}+m_{12}}{m_{21}\frac{d_1}{n_1}+m_{22}}. \end{array} $$ Если предмет и/или изображение расположены с другой стороны от соответствующей плоскости, то расстоянию $d_1$ и/или $d_2$ приписывается отрицательное значение.

Увеличение $K$ и обратное увеличение ${K}^{(-1)}$ рассчитываются по формулам: $$ \begin{array}{l} K=m_{21}\frac{d_2}{n}+m_{11},\\ {K}^{(-1)}=m_{21}\frac{d_1}{n}+m_{22}. \end{array} $$ При этом ${K}^{(-1)}=\frac{{(-1)}^N}{K}$, где $N$ - число отражений на пути луча от предмета до изображения.

Пусть левый фокус расположен на расстоянии $f_1^*$ слева от левой главной плоскости, а правый фокус - на расстоянии $f_2^*$ справа от правой главной плоскости. Тогда $f_1^*$ и $f_2^*$ связаны соотношением $$ \frac{f_1^*}{n_1}=\frac{f_2^*}{n_2}=-\frac{1}{m_{21}}. $$ Пусть предмет расположен на расстоянии $d_1^*$ слева от левой главной плоскости, а изображение - на расстоянии $d_2^*$ справа от правой главной плоскости. Тогда при $n_1=n_2$ (т. е.при $f_1^*=f_2^*$) выполняется формула линзы: $$ \frac{1}{f^*}=\frac{1}{d_1^*}+\frac{1}{d_2^*}. $$ Если $n_1\neq n_2$, то $$ \frac{1}{\sqrt{f_1^* f_2^*}}= \sqrt{\frac{f_2^*}{f_1^*}}\cdot\frac{1}{d_2^*}+\sqrt{\frac{f_1^*}{f_2^*}}\cdot\frac{1}{d_1^*}. $$