Решение уравнения Лапласа для аксиально-симметричной задачи можно представить в виде разложения: \begin{equation}\label{Legendre_eq1} \varphi(\vec{r})=\sum\limits_{\ell=0}^{\infty} \left(A_{\ell}r^{\ell}+\frac{B_{\ell}}{r^{\ell+1}} \right)P_{\ell}(\cos\theta), \end{equation} $$ \begin{array}{l} где \; A_{\ell},\; B_{\ell}\; - коэффициенты,\\ P_{\ell}(x)=\frac{1}{2^{\ell} \ell !} \frac{d^\ell}{dx^{\ell}} \left(x^2-1\right)^{\ell} - полином\;Лежандра \; степени \;\ell. \end{array} $$ В пределах базового курса электродинамики встречаются полиномы Лежандра 0-й, 1-й и 2-й степени: $$ \begin{array}{l} P_0(\cos\theta)=1,\\ P_1(\cos\theta)=\cos\theta,\\ P_2(\cos\theta)=\frac{3\cos^2\theta - 1}{2}. \end{array} $$ При $\theta=0$ все $P_{\ell}=1$. Поэтому на оси $z$ выражение \eqref{Legendre_eq1} принимает вид \begin{equation}\label{Legendre_eq2} \varphi(z)=\sum\limits_{\ell=0}^{\infty} \left(A_{\ell}z^{\ell}+\frac{B_{\ell}}{z^{\ell+1}} \right)P_{\ell}(\cos 0) = \sum\limits_{\ell=0}^{\infty} \left(A_{\ell}z^{\ell}+\frac{B_{\ell}}{z^{\ell+1}} \right). \end{equation} Часто для аксиально-симметричных задач можно найти точное решение $\varphi(z)$ на оси симметрии. Если $\varphi(z)$ разложением по малому параметру можно представить в виде $\sum\limits_{\ell=0}^{\infty} \left(A_{\ell}z^{\ell}+\frac{B_{\ell}}{z^{\ell+1}}\right)$ с ограниченным набором ненулевых значений $A_{\ell}$ и $B_{\ell}$, то решение $\varphi(r,\theta)$ во всем пространстве находится подстановкой этих $A_{\ell}$ и $B_{\ell}$ в формулу \eqref{Legendre_eq1} (см. решение задачи № 8).

В некоторых случаях значения $\ell$, для которых $A_{\ell}\neq0$ или $B_{\ell}\neq0$, можно установить, если задан характер распределения потенциала или поверхностной плотности заряда на границе раздела (см. решение задачи № 126).