Пусть в лабораторной системе отсчета в некоторый момент времени $t'$ (время излучения) частица с зарядом $q$ проходит через точку $\vec{r}'$ с безразмерной скоростью $\vec{\beta}=\vec{v}/c$ и ''ускорением'' $\dot{\vec{\beta}}=\frac{\partial}{\partial t'}\vec{\beta}=\vec{a}/c$.

Пусть $\vec{r}$ – некоторая точка пространства в лабораторной системе отсчета. Тогда скалярный $\varphi(\vec{r},t)$ и векторный $\vec{A}(\vec{r},t)$ потенциалы (потенциалы Лиенара-Вихерта) в момент времени $t$ (время приема) равны \begin{equation}\label{eq1} \varphi(\vec{r},t)=\frac{q}{\varkappa R_e},\;\;\; \vec{A}(\vec{r},t)=\frac{q}{\varkappa R_e}\vec{\beta}=\varphi(\vec{r},t)\vec{\beta}, \end{equation} $$ \begin{array}{l} где\; R_e=|\vec{r}-\vec{r}'|=c(t-t'),\\\\ \varkappa=1-(\vec{n}\cdot\vec{\beta})\; (характеризует,\; насколько\; быстрее\; к\; приемнику\\движется\; сигнал\; по\; сравнению\; с\; источником) ,\\\\ \vec{n}=\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{R_e}. \end{array} $$ Хотя потенциалы записаны как функции от $\vec{r}$ и $t$, их вычисление по формулам \eqref{eq1} требует на самом деле использования трех переменных $\vec{r}$, $t$ и $\vec{r}'$ в качестве независимых аргументов. Тогда последовательно определяются:
- расстояние от точки приема до точки излучения $R_e$;
- время излучения $t'=t-\frac{R_e}{c}$;
- направление на точку приема $\vec{n}$;
- параметр $\varkappa$,
после чего уже можно применить формулы \eqref{eq1}.

Выражения для полей в точке приема имеют более сложный вид: $$ \begin{array}{l} \vec{E}= \frac{q}{c \varkappa^3 R_e} \vec{n}\times [(\vec{n}-\vec{\beta})\times \dot{\vec{\beta}}] +\frac{q}{\gamma^2\varkappa^3R_e^2} (\vec{n}-\vec{\beta}),\\\\ \vec{H}=-\frac{q}{c \varkappa^3 R_e} \vec{n}\times \dot{\vec{\beta}} +\frac{q}{c \varkappa^3 R_e} [\vec{\beta} \times \vec{n}] (\vec{n}\cdot\dot{\vec{\beta}}) -\frac{q}{\gamma^2\varkappa^3R_e^2} \vec{n}\times\vec{\beta}. \end{array} $$ Последние слагаемые в выражениях для $\vec{E}$ и $\vec{H}$ выражают соответственно закон Кулона и закон Био-Савара с учетом релятивистских эффектов. Слагаемые, содержащие $\dot{\vec{\beta}}$, пропорциональны $\frac{1}{R_e}$ и выражают излучение релятивистской частицы. При $\beta \ll 1$ эти слагаемые соответствуют дипольному излучению в волновой зоне. В ультрарелятивистском пределе анализ излучения усложняется – обычно разбираются отдельно два случая: продольного ($\dot{\vec{\beta}}\parallel \vec{\beta}$) и поперечного ($\dot{\vec{\beta}}\perp \vec{\beta}$) ускорения.

Вместе с электромагнитным полем излучаются энергия и импульс. В дипольном приближении излучение связано с ускорением частицы, то есть с действующими на них силами. Ниже конспективно излагается, какие потери энергии и импульса возникают при движении релятивистской частицы во внешнем электромагнитном поле.

Уравнения движения в терминах 4-векторов и 4-тензоров имеет вид \begin{equation}\label{eq2} \frac{dp^{i}}{d\tau}= m\frac{du^{i}}{d\tau}= \frac{q}{c}F^{i k}u_k, \end{equation} где $\tau$ – собственное время, $p^i$ – контравариантная компонента 4-импульса, $F^{i k}$ – контравариантные компоненты 4-тензора электромагнитного поля, $u_k$ – ковариантная компонента 4-скорости (здесь и ниже производится суммирование по повторяющимся индексам, стоящим на разных уровнях): $$ F^{ik}= \left( \begin{array}{cccc} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -H_z & H_y \\ E_y & H_z & 0 & -H_x \\ E_z & -H_y & H_x & 0 \end{array} \right), \; p^{i}= \left( \begin{array}{c} \frac{\mathcal{E}}{c} \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{array} \right), \; u^{i}=\gamma \left( \begin{array}{c} c \\ v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right), \; u_{i}=\gamma \left( \begin{array}{c} c \\ -v_x \\ -v_y \\ -v_z \end{array} \right), $$ $i$=0,...,3, $k$=0,...,3.

Контравариантная форма для вызванного излучением изменения полного (в телесный угол $4\pi$) 4-импульса \begin{equation}\label{eq3} dp^{i}=-\frac{2q^2}{3c^5}\frac{du_{k}}{d\tau}\frac{du^{k}}{d\tau}dx^i \end{equation} В частном случае $i=0$ в сопутствующей системе отсчета получаем изменение полной энергии диполя (оно противоположно по знаку полной излученной энергии) $$ d\mathcal{E}=-\frac{2q^2}{3c^3}a^2 dt $$ Подставляя в \eqref{eq3} $\frac{du^{i}}{d\tau}$ из \eqref{eq2}, получим $$ \Delta p^{\mu}=- \frac{2q^4}{3m^2 c^7}\int (F_{ij} u^j) (F^{i k}u_k) dx^{\mu} $$ Расписывая скалярное произведение под интегралом для лабораторной системы (то есть той, в которой 4-скорость частицы равна $u^i=\gamma(c,v_x,v_y,v_z)$, получим в векторной форме $$ \Delta p^{\mu}= \frac{2q^4}{3m^2 c^5}\gamma^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left\{(\vec{E}+[\vec{\beta} \times \vec{H}])^2 -(\vec{\beta}\cdot\vec{E})^2\right\} dx^{\mu} $$ Это выражение для $\mu=1,2,3$ дает полное изменение компонент 3-мерного импульса, а для $\mu=0$ – полное изменение энергии заряженной релятивистской частицы: $$ \Delta \mathcal{E}=\frac{2q^4}{3m^2 c^3}\gamma^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left\{(\vec{E}+[\vec{\beta} \times \vec{H}])^2 -(\vec{\beta}\cdot\vec{E})^2\right\} dt $$ Уточним еще раз, что все поля, координаты и время, входящие в последние две формулы, относятся к лабораторной системе отсчета, а $\vec{\beta}$ и $\gamma$ задаются скоростью частицы в этой лабораторной системе.