Волноводом называется замкнутая металлическая труба произвольной формы, которая служит для канализации электромагнитной энергии, обычно в диапазоне СВЧ. Дело в том, что передача электромагнитных волн по проводам становится совершенно непригодной, когда длина волны сравнима с расстоянием между проводами. В этом случае провода работают просто как антенна, электромагнитная энергия излучается. Простейшее решение этой проблемы состоит в использовании металлической трубы. Электромагнитная волна не может пройти через достаточно толстую металлическую стенку и благодаря этому может распространяться вдоль трубы без заметных потерь энергии.

Сначала получим соотношения между компонентами электромагнитной волны в прямом бесконечно длинном волноводе произвольного сечения, одинакового вдоль длины волновода. Будем рассматривать случай, когда объем волновода заполнен однородной средой с проницаемостями $\varepsilon$ и $\mu$. Пусть ось $z$ направлена вдоль волновода.

Будем искать решение в виде \begin{equation}\label{eq1} \vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}(x,y){\text{e}}^{i(k_z z - \omega t)},\hspace{15 mm} \vec{H}(\vec{r},t)=\vec{H}(x,y){\text{e}}^{i(k_z z - \omega t)}. \end{equation} Такое решение в общем виде удовлетворяет уравнениям Максвелла. Граничные условия на стенках волновода задают конкретный вид $\vec{E}(x,y)$ и $\vec{H}(x,y)$, а также интервал возможных значений $\omega$.

Далее представим векторы электрического и магнитного полей как \begin{equation}\label{eq2} \begin{array}{l} \vec{E} = E_x \vec{e}_x + E_y \vec{e}_y + E_z \vec{e}_z = \vec{E}_{\bot} + \vec{E}_z,\\\\ \vec{H} = H_x \vec{e}_x + H_y \vec{e}_y + H_z \vec{e}_z = \vec{H}_{\bot} + \vec{H}_z. \end{array} \end{equation} Запишем пару уравнений Максвелла \begin{equation}\label{eq3} \begin{array}{l} \text{rot}\vec{E} = - \frac{\mu}{c}\frac{\partial \vec{H}}{\partial t},\\\\ \text{rot}\vec{H} = \frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}. \end{array} \end{equation}
Учтем, что $$ \text{rot} \vec{A} = \left[ \nabla \times \vec{A}\right] = \left[ \nabla_{\bot} \times \vec{A}\right] + \left[ \nabla_z \times \vec{A}\right], $$ где $\vec{A}$ – некоторая векторная функция пространственных координат, а оператор $\nabla$ разложен на компоненты: $$ \frac{\partial }{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec{e}_z= \nabla_{\bot} + \nabla_z. $$

Тогда, оставив в уравнениях \eqref{eq3} только $\bot$-компоненты, получим: $$ \begin{array}{l} \left[ \nabla_{\bot} \times \vec{E}_z\right] + \left[ \nabla_z \times \vec{E}_{\bot}\right] = i \frac{\mu \omega}{c} \vec{H}_{\bot},\\\\ \left[ \nabla_{\bot} \times \vec{H}_z\right] + \left[ \nabla_z \times \vec{H}_{\bot}\right] = -i \frac{\varepsilon \omega}{c} \vec{E}_{\bot}. \end{array} $$ Выразим из второго уравнения $\vec{E}_{\bot}$: $$ \vec{E}_{\bot} = i \frac{c}{\varepsilon \omega} \left[ \nabla_{\bot} \times \vec{H}_z\right] + i \frac{c}{\varepsilon \omega} \left[ \nabla_z \times \vec{H}_{\bot}\right] $$ и подставим $\vec{E}_{\bot}$ в первое уравнение. При этом распишем получившееся двойное векторное произведение по формуле $\vec{a}\times[\vec{b}\times\vec{c}]=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b})$. С учетом \eqref{eq1} получим: $$ \begin{array}{l} i \frac{\mu \omega}{c}\vec{H}_{\bot}= \left[ \nabla_{\bot} \times \vec{E}_z\right] + i \frac{c}{\varepsilon \omega} \nabla_z \times \nabla_{\bot} \times \vec{H}_z + i \frac{c}{\varepsilon \omega} \nabla_z \times \left[ \nabla_z \times \vec{H}_{\bot}\right] =\\\\ =\left[ \nabla_{\bot} \times \vec{E}_z\right] + i \frac{c}{\varepsilon \omega} \nabla_{\bot} (\nabla_z \cdot \vec{H}_z) - i \frac{c}{\varepsilon \omega}\vec{H}_z (\nabla_z \cdot \nabla_{\bot}) + i \frac{c}{\varepsilon \omega} \nabla_z(\nabla_z \cdot \vec{E}_{\bot}) - i \frac{c}{\varepsilon \omega} \vec{H}_{\bot}(\nabla_z \cdot \nabla_z) = \\\\ = \nabla_{\bot} \times \vec{E}_z + i \frac{c}{\varepsilon \omega} \nabla_{\bot} (\nabla_z \cdot \vec{H}_z) - 0 + 0 - i \frac{c}{\varepsilon \omega} (-k_z^2) \vec{H}_{\bot} = \\\\ = \nabla_{\bot} \times \vec{E}_z + i \frac{c}{\varepsilon \omega} ik_z \nabla_{\bot} H_z +ik_z^2 \frac{c}{\varepsilon \omega} \vec{H}_{\bot} = \\\\ =\nabla_{\bot} \times \vec{E}_z - \frac{c}{\varepsilon \omega} k_z \nabla_{\bot} H_z +ik_z^2 \frac{c}{\varepsilon \omega} \vec{H}_{\bot}. \end{array} $$ Домножим полученное равенство на $\frac{\varepsilon \omega}{ic}$ и перенесем в левую часть слагаемое, содержащее $\vec{H}_{\bot}$: $$ \left(\frac{\varepsilon \mu \omega^2}{c^2}-k_z^2\right)\vec{H}_{\bot}= i\left(-\frac{\varepsilon \omega}{c} \nabla_{\bot} \times \vec{E}_z + k_z \nabla_{\bot} H_z\right). $$ Поскольку уравнения \eqref{eq3} переходят одно в другое при замене $\vec{E} \leftrightarrow \vec{H}, \,\, \varepsilon \leftrightarrow -\mu$, то из полученного уравнения можно той же заменой получить $$ \left(\frac{\varepsilon \mu \omega^2}{c^2}-k_z^2\right)\vec{E}_{\bot}= i\left(\frac{\mu \omega}{c} \nabla_{\bot} \times \vec{H}_z + k_z \nabla_{\bot} E_z\right). $$ Введем обозначение $\varkappa^2=\frac{\varepsilon \mu \omega^2}{c^2}-k_z^2$ и выразим поперечные компоненты полей: \begin{equation}\label{eq4} \begin{array}{l} \vec{H}_{\bot}=\frac{i}{\varkappa^2} \left( k_z \nabla_{\bot} H_z -\frac{\varepsilon \omega}{c} \nabla_{\bot} \times \vec{E}_z \right),\\\\ \vec{E}_{\bot}=\frac{i}{\varkappa^2} \left( k_z \nabla_{\bot} E_z +\frac{\mu \omega}{c} \nabla_{\bot} \times \vec{H}_z \right). \end{array} \end{equation}
Соотношения \eqref{eq4} позволяют выразить мгновенные значения поперечных компонент полей через продольные. Заметим, что при формальной замене $k_z\leftrightarrow -k_z,\,\, \omega\leftrightarrow -\omega$ в правых частях соотношений \eqref{eq4} появляется общий множитель (-1). Это может показаться странным, поскольку выражения \eqref{eq1} с противоположными знаками в экспоненте описывают одну и ту же волну, и при такой замене соотношение между компонентами полей никак не должно изменяться. На самом деле одновременная замена знаков $k_z$ и $\omega$ не равносильна домножению \eqref{eq4} на (-1), изменяются также комплексные значения $E_z$ и $H_z$, содержащих множители вида $\e^{i(k_z z - \omega t)}$. Это приводит к тому, что изменяются только мнимые части уравнений. Предлагаем убедиться самостоятельно в том, что действительные части остаются при этом неизменными.

Соотношения \eqref{eq4} имеют ряд важных следствий. Например, из них следует, что волна в волноводе с односвязным сечением не может быть поперечной для электрического и магнитного полей одновременно. (В случае многосвязного сечения возможно решение в виде TEM-волны при условии $\varkappa=0$, которое не предполагалось при выводе уравнений \eqref{eq4}). Если же $z$-компонента отлична от нуля только для вектора $\vec{H}$ (''H-волна''), то с учетом \eqref{eq4} граничные условия на стенках можно записать в виде \begin{equation}\label{eq5} \begin{array}{lll} H_n=0 & \Leftrightarrow & \frac{\partial H_z}{\partial x_n}=0,\\\\ E_{\tau}=0 & \Leftrightarrow & \frac{\partial H_z}{\partial x_n}=0. \end{array} \end{equation} Видно, что на стенках волновода условия $E_{\tau}=0$ и $H_n=0$ оказываются эквивалентными. Это является следствием уравнения Максвелла $\text{rot}\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$. Действительно, внутри металлической стенки $E=0$, следовательно, и $\text{rot}\vec{E}=0$, откуда следует, что в металле переменное магнитное поле $B=0$. Для нормальной составляющей это означает, что на стенке волновода со стороны внутренней области $B_n=H_n=0$.

В волноводе прямоугольного сечения $(a\times b)$ могут распространяться только волны, входящие в набор из $H_{kl}$- и $E_{mn}$-волн, $z$-компоненты которых описываются выражениями: $$ \begin{array}{ll} H_{z\,kl}=H_0 \cos \frac{\pi k}{a}x \cos \frac{\pi l}{b}y\cdot {\text{e}}^{i(k_z z - \omega t)}, & k=0,1,2,..., \, l=0,1,2,..., \, \{k,l\}\neq\{0,0\}, \\\\ E_{z\,mn}=E_0 \sin \frac{\pi m}{a}x \sin \frac{\pi n}{b}y \cdot {\text{e}}^{i(k_z z - \omega t)}, & m=1,2,3,..., \, n=1,2,3,... \end{array} $$ Закон дисперсии для волны с индексами $m,n$: $$ \omega_{m,n}(k_z)=c\sqrt{ k_z^2+ \left(\frac{\pi m}{a}\right)^2+\left(\frac{\pi n}{b}\right)^2}. $$ Условию $k_z=0$ отвечает минимально возможное значение частоты для волны с индексами $m,n$: $$ \omega_{m,n\,min}=c\sqrt{ \left(\frac{\pi m}{a}\right)^2+\left(\frac{\pi n}{b}\right)^2}. $$ В частности, нижняя граница частотного спектра в волноводе соответствует $H_{10}$-волне ($a>b$): $$ \omega_{min}=\frac{\pi с}{a}. $$ Если в поперечном сечении волновода имеется граница раздела, то для определения коэффициента отражения/прохождения волны удобно представить волну в виде суперпозиции двух или четырех плоских волн. В случае $H$-волны это будут TE-волны, в случае $E$-волны – TM-волны (см. задачи № 244, № 245).

В задачах № 165, № 169 подробно рассмотрен вид поперечных компонент поля в прямоугольном волноводе.