Решим задачу для общего случая $E_{lm}$-волны.
Тип отраженной и прошедшей волны можно установить на основе следующих соображений.
Падающая волна представляет собой суперпозицию плоских волн с частотой $\omega$ и волновыми векторами
с компонентами $k_{0z}$, $k_{0x}=\pm \frac{l\pi}{a}$ и $k_{0y}=\pm \frac{m\pi}{b}$. При отражении и преломлении
каждой плоской волны сохраняются частота и тангенциальные компоненты волнового вектора. Поскольку решения
для отраженной и прошедшей волн являются результатом суперпозиции соответствующих плоских волн, то
параметры $k_{x}$, $k_{y}$ и $\omega$ войдут
в результирующие решения без изменений. С другой стороны
решения для отраженной и прошедшей волн должны удовлетворять волновому уравнению с граничными условиями на стенках
волновода. Для прямоугольного волновода это могут быть только волны типа $E_{lm}$ или $H_{lm}$, причем, индексы $l, m$
однозначно задаются геометрическими размерами $a,\; b$ и значениями $k_x,\; k_y$, которые, как уже было отмечено,
не изменяются при отражении и прохождении волны. $H_{lm}$-волна исключается, так как она влечет нарушение
условий непрерывности нормальных компонент $D_n$ и $B_n$ на границе раздела $z=0$.
Таким образом, и отраженная и прошедшая волна имеют тип $E_{lm}$ с теми же индексами и частотой, что и падающая.
С учетом изложенных соображений выпишем выражения для всех компонент полей в падающей ''0'', отраженной ''1'' и
прошедшей ''2''
волнах:
$$
\begin{array}{l}
E_{0z}(x,y,z,t)=E_0\sin(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
E_{0x}(x,y,z,t)=\frac{i}{\varkappa^2}k_{0z}\frac{\partial E_{0z}}{\partial x}=
\frac{ik_{0z}k_x}{\varkappa^2} E_0\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
E_{0y}(x,y,z,t)=\frac{i}{\varkappa^2}k_{0z}\frac{\partial E_{0z}}{\partial y}=
\frac{ik_{0z}k_y}{\varkappa^2} E_0\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{0x}(x,y,z,t)=-\frac{i}{\varkappa^2}\frac{\varepsilon_0 \omega}{c}\frac{\partial E_{0z}}{\partial y}=
-\frac{i k_y \varepsilon_0\omega}{\varkappa^2 c} E_0\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{0y}(x,y,z,t)=\frac{i}{\varkappa^2}\frac{\varepsilon_0 \omega}{c}\frac{\partial E_{0z}}{\partial x}=
\frac{i k_x \varepsilon_0\omega}{\varkappa^2 c} E_0\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\\\
H_{0z}(x,y,z,t)=0\\\\\\
E_{1z}(x,y,z,t)=E_1\sin(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\
E_{1x}(x,y,z,t)=-\frac{ik_{0z}k_x}{\varkappa^2} E_1\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\
E_{1y}(x,y,z,t)=-\frac{ik_{0z}k_y}{\varkappa^2} E_1\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{1x}(x,y,z,t)=-\frac{i k_y \varepsilon_0\omega}{\varkappa^2 c} E_1\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{1y}(x,y,z,t)=\frac{i k_x \varepsilon_0\omega}{\varkappa^2 c} E_1\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\\\
H_{1z}(x,y,z,t)=0\\\\\\
E_{2z}(x,y,z,t)=E_2\sin(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
E_{2x}(x,y,z,t)=\frac{ik_{2z}k_x}{\varkappa^2} E_2\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
E_{2y}(x,y,z,t)=\frac{ik_{2z}k_y}{\varkappa^2} E_2\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)} \\\\\\
H_{2x}(x,y,z,t)=-\frac{i k_y \varepsilon_2\omega}{\varkappa^2 c} E_2\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
H_{2y}(x,y,z,t)=\frac{i k_x \varepsilon_2\omega}{\varkappa^2 c} E_2\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\\\
H_{2z}(x,y,z,t)=0,
\end{array}
$$
где обозначены $k_x$=$\frac{\pi l}{a},\, k_y$=$\frac{\pi m}{b},
\, \varkappa^2$=$k_x^2+k_y^2$; $l$=$1,2,3,...,\, m$=$1,2,3,...$
Тогда гран. условия $E_{0x}+E_{1x}$=$E_{2x},\; H_{0x}+H_{1x}$=$H_{2x}$ на границе раздела $z$=$0$ после подстановки выписанных
выражений и сокращений на общие множители (а также с учетом $\mu$=$1,\; \varepsilon_0$=$1\; и\;
\varepsilon_2$=$\varepsilon$) принимают вид:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
k_{0z}E_0-k_{0z}E_1=k_{2z}E_2\\
E_0+E_1=\varepsilon E_2
\end{array}
\right.
$$
с решением
$$
\frac{E_1}{E_0}=\frac{\varepsilon-\alpha}{\varepsilon+\alpha}=\frac{n^2-\alpha}{n^2+\alpha},
$$
где обозначено
$\alpha=
\frac{k_{2z}}{k_{0z}}=\sqrt{
\frac{\frac{\omega^2}{c^2}n^2-k_x^2-k_y^2}{\frac{\omega^2}{c^2}-k_x^2-k_y^2}
}$. В случае $l=m=1$ $\hspace{3mm}\alpha=\sqrt{
\frac
{
\frac{\omega^2}{c^2}n^2-\left(\frac{\pi}{a}\right)^2-\left(\frac{\pi}{b}\right)^2
}
{
\frac{\omega^2}{c^2}-\left(\frac{\pi}{a}\right)^2-\left(\frac{\pi}{b}\right)^2
}
}$. |