Задача №209 |
||
|
||
| Пусть координаты точечного источника $(0,-f)$, причем предположим, что $f\gg x_{max}$. Тогда фаза волны $E_I$ в плоскости $z=0$ составляет
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{array}{l}
\phi_{I}(x,0,t)=\phi_0+kr-\omega t = \\\\
=\phi_0+k\sqrt{f^2+x^2}-\omega t
=\phi_0+kf\sqrt{1+\frac{x^2}{f^2}}-\omega t \approx \\\\
\approx \phi_0+kf\left(1+\frac{x^2}{2f^2}\right)-\omega t
=\text{const}+k\frac{x^2}{2f}-\omega t,
\end{array}
\end{equation}
Теперь рассмотрим луч, падающий горизонтально на линзу в точке $x$. Фаза волны $E_{II}$ в плоскости $z=0$ за плоско-вогнутой линзой равна \begin{equation}\label{eq2} \begin{array}{l} \phi_{II}(x,0,t)=\phi_A+k(nl_{AB}+l_{BC})-\omega t = \phi_A+k(nl_{AB}+l_{AC}-l_{AB})-\omega t = \\\\ =\text{const}+k(n-1)l_{AB}-\omega t =\text{const}+k(n-1)(R-l_{OD})-\omega t = \\\\ =\text{const}+k(n-1)(R-\sqrt{R^2-x^2})-\omega t =\\\\ =\text{const}+k(n-1)\left(R-R\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2}}\right)-\omega t \approx \\\\ \approx \text{const}+k(n-1)\left(R-R\left(1+\frac{x^2}{2R^2}\right)\right)-\omega t =\\\\ =\text{const}+k(n-1)\frac{x^2}{2R}-\omega t . \end{array} \end{equation} Заметим, что $\frac{R}{n-1}$ равно фокусному расстоянию $f_L$ нашей рассеивающей линзы, поэтому выражение \eqref{eq2} с точностью до постоянного слагаемого можно переписать в форме \begin{equation*} \phi_{II}(x,0,t)=k\frac{x^2}{2f_L}-\omega t . \end{equation*} Теперь видно, что при $f=f_L=\frac{R}{n-1}$ фазы $\phi_{I}$ и $\phi_{II}$ совпадают. Но тогда совпадают (с точностью до предэкспоненциального множителя) и соответствующие поля за диафрагмой, поскольку они оба выражаются через интеграл Кирхгофа, содержащий одно и то же поле $\hat{E_0}$: $$ \hat{E}_{I}(\vec{r},t)=\hat{E}_{II}(\vec{r},t)=\frac{1}{i\lambda}\int\limits_S \frac{\hat{E_0}}{r}{\text{e}}^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}\cos\psi dS. $$ Примечание 1. По условию задачи $f_L\gg x_{max}$, с другой стороны мы получили, что $f=f_L$. Поэтому разложение по малому параметру, использованное в \eqref{eq1}, обоснованно. Примечание 2. Нетрудно также показать, что в параксиальном приближении собирающая линза с фокусным расстоянием $f$ создает добавку $\left(k\frac{x^2}{2(z-f)}\right)$ к фазе $(kz-\omega t)$ падающей на нее плоской волны, так что образованная за линзой волна эквивалентна волне от точечного источника, помещенного в правый фокус (при распространении волны слева направо). |