Задача №244 |
||
|
||
| Способ 1.
Решение в области $z>0$ ищем в виде $E_{11}$-волны: $$ E_{2z}=\hat{E}_T\sin\frac{\pi}{a}x \sin\frac{\pi}{a}y \cdot {\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)} $$ Можно показать, что данное решение при соответствующем $\hat{E}_T$ удовлетворяет всем граничным условиям и поэтому является верным. Полное отражение означает, что в области 2 волна не распространяется, то есть затухает с увеличением $z$. Затухание возникает, если $k_{2z}$ мнимое: $$ k_{2z}=\sqrt{k_2^2-k_{2x}^2-k_{2y}^2},\,\,\,k_2^2-k_{2x}^2-k_{2y}^2<0. $$ С учетом $k_2=\frac{\omega}{c}$ получим условие на частоту: $$ \omega \leq c\sqrt{k_{2x}^2+k_{2y}^2}=\sqrt{2}\frac{\pi с}{a}. $$ Видно, что условие полного отражения не зависит от $\varepsilon$ и совпадает с условием невозможности существования волны в области 2 волновода. Способ 2. $E_{\mathrm{11}}$ – волну можно представить в виде суммы четырех плоских волн с волновыми векторами: \[ \vec{{k}}=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {\pm \frac{\pi }{a}}, \hfill & {\pm \frac{\pi }{a}}, \hfill & {k_{z} } \hfill \\ \end{array} }} \right). \] Видно, что все эти плоские волны падают на границу раздела сред под одинаковым углом $\phi_{\mathrm{0}}$: \[ \sin \varphi_{0} =\frac{k_{\bot } }{\sqrt {k_{\bot }^{2} +k_{z}^{2} } }, \] где $k_{\bot } =\sqrt {k_{x}^{2} +k_{y}^{2} } =\sqrt 2 \frac{\pi }{a}$. Волна полностью отражается от границы раздела, если угол падения равен или превышает угол полного внутреннего отражения: \[ \sqrt \varepsilon \sin \phi_{0} \geqslant 1 \] или \[ \sqrt \varepsilon \frac{k_{\bot } }{\sqrt {k_{\bot }^{2} +k_{z}^{2} } }\geqslant 1. \] Частота волны выражается через компоненты волнового вектора формулой: \[ \omega =\frac{с}{\sqrt \varepsilon }\sqrt {k_{\bot }^{2} +k_{z}^{2} }. \] Сравнивая последние два выражения, получим $$ \omega \leqslant сk_{\bot } =\sqrt 2 \frac{\pi c}{a}. $$ |