Задача №245
В длинном волноводе квадратного сечения $a\times a$ с идеально проводящими стенками вдоль оси $z$ в области $z<0$ распространяется $E_{11}$-волна. Область $z<0$ волновода заполнена диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon $ ($\mu=1$), а область $z>0$ – пуста. Определите частоту волны, при которой не будет волны, отраженной от границы раздела $z=0$.
Способ 1.

На границе раздела ($z=0$) выполняются условия $$ E_{0\tau}=E_{2\tau},\,\,\,\, \varepsilon E_{0n}=E_{2n} $$ (в левых частях записанных уравнений отсутствуют слагаемые $E_{1\tau}$ и $\varepsilon E_{1n}$ соответственно, что означает отсутствие отраженной волны).

Подставим выражения для $x$- и $z$-компонент $\vec{E}_{11}$: $$ \left\{ \begin{array}{l} E_{0}\frac{ik_{0z} k_x}{\varkappa^2} \cos k_x x \sin k_y y {\e}^{i\omega t}= E_{2}\frac{ik_{2z} k_x}{\varkappa^2}\cos k_x x \sin k_y y {\e}^{i\omega t}\\\\ \varepsilon E_{0}\sin k_x x \sin k_y y {\e}^{i\omega t}=E_{2}\sin k_x x \sin k_y y {\e}^{i\omega t}, \end{array} \right. $$ где $\varkappa^2=k_x^2+k_y^2$. После сокращений на общие множители, получим: $$ \left\{ \begin{array}{l} E_{0} k_{0z}=E_{2} k_{2z}\\\\ \varepsilon E_{0}=E_{2}, \end{array} \right. \Rightarrow k_{0z}=\varepsilon k_{2z}. $$ Распишем полученное равенство в развернутом виде: $$ k_0^2-k_x^2-k_y^2=\varepsilon^2(k_2^2-k_x^2-k_y^2). $$ С учетом $k_0=\frac{\sqrt{\varepsilon}\omega}{c}$, $k_2=\frac{\omega}{c}$ $$ \varepsilon\frac{\omega^2}{c^2}-k_x^2-k_y^2=\left(\frac{\omega^2}{c^2}-k_x^2-k_y^2\right)\varepsilon^2. $$ Подставив $k_x=k_y=\frac{\pi}{a}$, выражаем искомую частоту: $$ \omega=c\sqrt{(k_x^2+k_y^2)\frac{1-\varepsilon^2}{\varepsilon-\varepsilon^2}}= \frac{\sqrt{2}\pi c}{a}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{\varepsilon}}. $$
Способ 2.

$E_{\mathrm{11}}$ – волну можно представить в виде суммы четырех плоских волн с волновыми векторами: \[ \vec{{k}}=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {\pm \frac{\pi }{a}}, \hfill & {\pm \frac{\pi }{a}}, \hfill & {k_{z} } \hfill \\ \end{array} }} \right). \] Видно, что все эти плоские волны падают на границу раздела сред под одинаковым углом $\phi_{\mathrm{0}}$: \[ \mbox{tg}\phi_{0} =\frac{k_{\bot } }{k_{z} }, \] где $k_{\bot } =\sqrt {k_{x}^{2} +k_{y}^{2} } =\sqrt 2 \frac{\pi }{a}$. При этом все четыре плоских волны имеют нулевые компоненты магнитного поля вдоль оси $z$, т. е. являются ТМ-волнами при падении на границу раздела. Известно, что ТМ-волны не отражаются от границы раздела при падении под углом Брюстера: \[ \sqrt \varepsilon \;\mbox{tg}{\kern 1pt}\,\phi_{0} =1 \] или \begin{equation*} \sqrt \varepsilon \frac{k_{\bot } }{k_{z} }=1. \end{equation*} Частота волны выражается через компоненты волнового вектора формулой: \begin{equation*} \omega =\frac{с}{\sqrt \varepsilon }\sqrt {k_{\bot }^{2} +k_{z}^{2} }. \end{equation*} Выразим $k_z$ через $k_{\perp}$ и подставим $k_{\perp}=\frac{\pi}{a}$. Получим $$ \omega = \frac{\sqrt{2}\pi c}{a}\sqrt {\frac{1+\varepsilon}{\varepsilon} }. $$