Искомая индуктивность задается формулой
$$
W=\frac{LI^2}{2c^2},
$$
где $W$ – энергия магнитного поля,
заключенная в объеме трубы единичной длины при однородно распределенном токе $I$:
$$
W=\int\limits_{a\leq R \leq b} \frac{H^2(\vec{R})}{8\pi}dS.
$$
Поле находим по теореме Стокса:
$$
2\pi R H(R)=\frac{4\pi I}{c \pi(b^2-a^2)}\pi (R^2-a^2)\Rightarrow
H(R)=\frac{2 I}{c (b^2-a^2)}\frac{R^2-a^2}{R}.
$$
Подставляем в интеграл:
$$
\begin{array}{l}
W=\frac{(2I)^2}{8\pi (c(b^2-a^2))^2}\int\limits_{a}^{b}\left(\frac{R^2-a^2}{R}\right)^2 2\pi RdR=\\\\
=\frac{4I^2}{4 c^2(b^2-a^2)^2}\int\limits_a^b \left(R^3-2a^2R+\frac{a^4}{R}\right)dR=\\\\
=\frac{I^2}{c^2(b^2-a^2)^2} \left(\frac{b^4-a^4}{4}-2a^2\frac{b^2-a^2}{2}+a^4\ln \frac{b}{a}\right)=\\\\
=\frac{I^2}{c^2(b^2-a^2)^2} \left(\frac{b^4-a^4-4a^2b^2+4a^4}{4}+a^4\ln \frac{b}{a}\right)=\\\\
=\frac{I^2}{c^2(b^2-a^2)^2} \left(\frac{b^4-2a^2b^2+a^4}{4}-\frac{2a^2b^2-2a^4}{4}+a^4\ln \frac{b}{a}\right)=
\end{array}
$$
$$
=\frac{I^2}{2c^2} \left(\frac{1}{2}-\frac{a^2}{b^2-a^2}
+\frac{2a^4}{(b^2-a^2)^2}\ln \frac{b}{a}\right),
$$
откуда искомая удельная внутренняя индуктивность *:
$$
L=\frac{1}{2}-\frac{a^2}{b^2-a^2}
+\frac{2a^4}{(b^2-a^2)^2}\ln \frac{b}{a}.
$$
*
В пределе $a\ll b$ получаем известный результат для сплошного провода круглого сечения
(см. задачу 6.2 из [1]):
$$
L|_{a=0}=\frac{1}{2}.
$$
Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что $L=0$ в пределе $a\rightarrow b$. |