При слабом скин-эффекте ток распределен равномерно по сечению каждой пластины,
при сильном скин-эффекте он сосредоточен в двух приповерхностных скин-слоях каждой пластины.
И в том и в другом случае поле между пластинами однородно и равно $\frac{4\pi J}{c}$,
а снаружи – нулю. Это следует из теоремы Стокса в приближении двух бесконечных плоскостей,
по которым текут противоположно направленные токи с линейной плотностью $J$.
Далее анализируем случай слабого скин-эффекта. Объемная плотность тока в отдельной пластине
равна
$$
j=\frac{J}{a}.
$$
Магнитное поле, наводимое током этой плотности в самой пластине, распределено линейно по ее толщине:
$$
H_1(x)=\frac{4\pi J}{ca}(|x|-d-a)+\frac{2\pi J}{c},
$$
а в соседней пластине
$$
H_2(x)=-\frac{2\pi J}{c}.
$$
По принципу суперпозиции оба тока создают следующее распределение поля в пространстве:
$$
\vec{H}(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & |x|>d+a\\\\
\frac{4\pi J}{ca}(|x|-d-a), & d \leqslant |x| \leqslant d+a\\\\
\frac{4\pi J}{c}, & 0 \leqslant |x| < d
\end{array}
\right.
$$
Учтем, что линейная плотность тока $J=\frac{I}{h}$. Тогда
$$
\vec{H}(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & |x|>d+a\\\\
\frac{4\pi I}{cha}(|x|-d-a), & d \leqslant |x| \leqslant d+a\\\\
\frac{4\pi I}{ch}, & 0 \leqslant |x| < d
\end{array}
\right.
$$
Пренебрегая краевыми эффектами, будем считать, что поле вне области пространства $0\leqslant y\leqslant h$ равно нулю.
Тогда полную энергию магнитного поля, индуцируемого током $I$, получим интегрированием по $x$:
$$
\begin{array}{l}
W=\int \limits_{x=-d-a}^{x=d+a} w dV = 2dhl \frac{\left(4\pi I \right)^2}{8\pi c^2h^2}
+2lh\int \limits_{d}^{d+a} \frac{(4\pi I (x-d-a))^2}{8\pi c^2h^2 a^2} dx=\\\\
= \frac{4\pi d l}{c^2 h}I^2 +
\frac{4\pi l a^3 I^2}{3a^2 c^2h }=
\frac{4\pi d l}{c^2 h}I^2\left(1+\frac{a}{3d}\right).
\end{array}
$$
С другой стороны $W=\frac{LI^2}{2c^2}$, откуда
$$
L= \frac{8\pi d l}{h}\left(1+\frac{a}{3d}\right).
$$
В случае сильного скин-эффекта второе слагаемое в скобках, соответствующее интегралу по тонкому скин-слою,
становится пренебрежимо мало, и тогда
$$
L= \frac{8\pi d l}{h}.
$$ |