Задача №99
Над магнитным диполем $\vec{m}_0 e^{i\omega t}$ помещен тонкий проводящий круглый диск, расположение и размеры которого указаны на рисунке ($d\ll h$). Считая, что частота $\omega$ и проводимость материала диска $\sigma$ удовлетворяют сильному неравенству $\frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega}} \gg h \rm{tg}\theta_0$ (то есть скин-эффект слабый), определить интенсивность тепловыделения в диске.
Поле магнитного диполя аксиально симметрично, причем $B_{\alpha}=0$, поэтому индуцируемое им электрическое поле имеет только азимутальную $(\alpha-)$ компоненту. Скин-эффект слабый, поэтому считаем, что токи, индуцируемые внутри диска, не меняют распределение магнитного поля. Тогда по закону Фарадея внутри диска имеем *
\begin{equation*} \begin{array}{l} E_{\alpha}(r,\theta,t)\cdot 2\pi r \sin \theta = -\frac{1}{c}\int \frac{dB_r(r,\theta',t)}{dt}dS=\\\\ =-\frac{i m_0 \omega e^{i \omega t}}{c}\int\limits_0^{\theta} 2\frac{\cos\theta'}{r^3}2\pi r^2 \sin\theta' d\theta' = -2\pi \frac{i\omega m_0}{cr}\sin^2\theta {\e}^{i\omega t}, \end{array} \end{equation*} откуда
\begin{equation*} \begin{array}{l} \hat{E}=E_{\alpha}(r,\theta,t)= \frac{i\omega m_0}{с r^2}\sin\theta {\e}^{i(\omega t+\pi)},\\\\ \hat{j}=\sigma E(r,\theta,t)= \sigma \frac{i\omega m_0}{с r^2}\sin\theta {\e}^{i(\omega t+\pi)}. \end{array} \end{equation*}
Интенсивность тепловыделения в кольце, усредненная по времени, равна (учитываем, что для тонкого диска $z\approx h,\; r\approx\frac{h}{\cos\theta}, dr\approx\frac{d}{\cos\theta}$ и элементарный объем $dV=2\pi r^2\sin\theta dr d\theta= (2\pi d\cdot h^2) \frac{\sin\theta}{\cos^3\theta} d\theta$) \begin{equation*}\label{2012_13_3ex_pb7_eq3} \begin{array}{l} \langle Q \rangle = \frac{1}{2} \Re \int \hat{E}\hat{j}^*dV= \sigma \left(\frac{\omega m_0}{с}\right)^2\int\limits_{0}^{\theta_0} \frac{\sin^2\theta \cos^4\theta}{h^4} \pi d\cdot h^2 \frac{\sin\theta}{\cos^3\theta} d\theta=\\\\ =\pi d\cdot\sigma \left(\frac{\omega m_0}{с}\right)^2\int \limits_{0}^{\theta_0} \frac{\sin^3\theta \cos\theta}{h^2} d\theta=\pi d \cdot \sigma \left(\frac{\omega m_0 }{с h}\right)^2 \frac{\sin^4\theta_0}{4}. \end{array} \end{equation*}
* Поток вектора $\left(-\frac{1}{c}\frac{d\vec{B}}{dt}\right)$ можно вычислять по любой поверхности, натянутой на контур, но удобно это делать по сферическому сегменту радиса $r$. Учтем при этом, что $r$-компонента магнитного поля равна $$ B_r=\left(-\frac{\vec{m}}{r^3}+3\frac{(\vec{m}\cdot \vec{r})\vec{r}}{r^5}\right)\cdot \vec{e}_r =3\frac{(m r \cos\theta) r}{r^5}-\frac{m \cos\theta}{r^3} =\frac{2m}{r^3}\cos\theta. $$
Симметрия задачи позволяет вычислить $E_{\alpha}$, вообще избегая интегрирования. Для этого запишем уравнение Максвелла через вектор-потенциал: $$ \text{rot}\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{d \text{rot}\vec{A}}{dt}, $$ откуда $$ E_{\alpha}(r,\theta,t) = -\frac{i\omega}{c}A_{\alpha}(r,\theta,t)= -\left|\frac{i\omega}{c} \frac{[\vec{m}\times\vec{r}]}{r^3}\right|= -\frac{i\omega}{c} \frac{m_0 \sin\theta }{r^2}{\e}^{i\omega t}. $$