Конспекты лекций

    1. Интегралы и ряды Фурье

  1.1 Теорема о представлении функций интегралами и рядами Фурье.

      1.1.1 Лемма Римана-Лебега.

      1.1.2 Доказательство теоремы Фурье.

      1.1.3 Интеграл Фурье как предельная форма ряда Фурье.

      1.1.4 Разложение функции в ряд Фурье без вычисления интегралов.

  1.2 Вещественная форма интегралов и рядов Фурье.

      1.2.1 Интеграл Фурье в вещественной форме.

      1.2.2 Ряд Фурье в вещественной форме.

      1.2.3 Интегралы и ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

      1.2.4 Амплитудный и фазовый спектры.

  1.3 Преобразование Фурье.

      1.3.1 Прямое и обратное преобразование Фурье.

      1.3.2 Синус- и косинус-преобразования Фурье.

      1.3.3 Различные формы записи преобразования Фурье.

      1.3.4 Преобразование Фурье функций нескольких переменных..

      1.3.5 Преобразование Фурье-Бесселя.

    2. Свойства преобразования Фурье и коэффициентов рядов Фурье

  2.1 Непрерывность, ограниченность, асимптотическое поведение.

  2.2 Линейная замена переменной в преобразовании Фурье.

  2.3 Неравенство Бесселя.

  2.4 Ряды и преобразование Фурье и операция дифференцирования.

      2.4.1 Преобразование Фурье от производных функции.

      2.4.2 Коэффициенты ряда Фурье для производной функции.

      2.4.3 Дифференцирование преобразования Фурье.

      2.4.4 Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.

    3. Сходимость рядов Фурье

  3.1 Равномерная сходимость рядов Фурье.

  3.2 Равенство Ляпунова.

  3.3 Скорость сходимости рядов Фурье.

  3.4 Явление Гиббса.

    4. Свёртка функций

  4.1 Преобразование Фурье от произведения функций.

  4.2 Определение и свойства свёртки.

  4.3 Преобразование Фурье от свёртки функций.

  4.4 Свёртка и обратное преобразование Фурье.

  4.5 Фильтрующие свойства свёртки.

      4.5.1 Приближение непрерывных функций дифференцируемыми.

      4.5.2 Приближение абсолютно интегрируемых функций бесконечно дифференцируеыми.

      4.5.3 Приближение функций, интегрируемых с квадратом, финитными бесконечно дифференцируемыми функциями.

    5. Преобразование Фурье быстро убывающих функций

  5.1 Быстро убывающие функции.

  5.2 Формула Пуассона.

  5.3 Преобразование Фурье функций, интегрируемых с квадратом.

  5.4 Автокорреляция.

    6. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций

  6.1 Формула Фурье для абсолютно интегрируемых функций.

    7. Преобразование Лапласа

  7.1 Оригиналы и изображения.

  7.2 Формула обращения для преобразования Лапласа.

  7.3 Свойства преобразования Лапласа.

      7.3.1 Свойства подобия, запаздывания и смещения, свёртка оригиналов.

      7.3.2 Преобразование Лапласа от производной: дифференцирование и интегрирование оригиналов.

      7.3.3 Дифференцирование преобразования Лапласа: дифференцирование и интегрирование изображений.

  7.4 Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.

  7.5 Преобразование Лапласа степенной функции.

    8. Обобщённые функции

  8.1 Моделирование сингулярных объектов. Дельта-образующие последовательности. Дельта-функция Дирака.

  8.2 Основные и обобщённые функции. Регулярные и сингулярные обобщённые функции.

  8.3 Примеры обобщённых функций.

  8.4 Сходимость последовательности обобщённых функций. Формулы Сохоцкого.

  8.5 Свойства обобщённых функций.

      8.5.1 Линейная замена переменной в обобщённых функциях.

      8.5.2 Умножение на бесконечно дифференцируемую функцию.

      8.5.3 Дифференцирование обобщённых функций.

      8.5.4 Свёртка обобщённых функций.

  8.6 Фундаментальные решения дифференциальных операторов.

  8.7 Преобразование Фурье обобщённых функций медленного роста.

      8.7.1 Формула Фурье.

      8.7.2 Дифференцирование и преобразование Фурье. Свёртка и преобразование Фурье.

      8.7.3 Примеры преобразования Фурье обобщённых функций.

    9. Теорема отсчётов

  9.1 Функция отсчётов.

  9.2 Теорема Котельникова-Шеннона.

    10. Задача наилучшего приближения

  10.1 Приближение тригонометричекими многочленами.

  10.2 Теорема Вейерштрасса.